Question

19．已知f（x）=${cos^2}（x+\frac{π}{12}）+\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象在y軸右邊的第一個對稱中心的坐標．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，然后內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質，令$\frac{π}{3}+2{x_0}=0+kπ$，求解對稱坐標方程，根據(jù)k的取值，可得y軸右邊的第一個對稱中心的坐標．

解答 解：函數(shù)f（x）=${cos^2}（x+\frac{π}{12}）+\frac{1}{2}$sin2x．
化簡可得：$f（x）=\frac{{1+cos（2x+\frac{π}{6}）}}{2}+\frac{1}{2}sin2x=\frac{{1+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xsin\frac{π}{6}+sin2x}}{2}$=$\frac{{1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x}}{2}=\frac{{1+sin（\frac{π}{3}+2x）}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$
∵2x$+\frac{π}{3}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是單調增區(qū)間，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
可得：$-\frac{5π}{6}+2kπ≤2x≤\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$，
解得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ，k∈Z$，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]，k∈Z$．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{3}+2{x_0}=0+kπ$，k∈Z，
化簡得$2{x_0}=-\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z，
故得：${x_0}=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
當k=1時，${x_0}=\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)在y軸右邊的第一個對稱中心的坐標為$（\frac{π}{3}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．