Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的長；
（2）若AD=BC=2a，EF=

3

a，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示．連接EC，ED．利用△ABC是等邊三角形可得CE，同理可得ED，再利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
（2）如圖所示，取AC的中點M，連接EM，F(xiàn)M．利用三角形的中位線定理可得EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
因此∠EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成的角，在△EFM中，利用余弦定理即可得出．

解答：解：（1）如圖所示．
連接EC，ED．
∵AB=BC=AC=2a，
∴△ABC是等邊三角形．
又AE=EB，∴CE⊥AB．
∴CE=

3

a．
同理DE=

3

a．
在△CED中，∵CE=ED=

3

a，CF=FD=a，
∴EF=

CE2-CF2

=

2

a；
（2）如圖所示，取AC的中點M，連接EM，F(xiàn)M．
∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，
∴EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
∴∠EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成的角，
又AD=BC=2a，
∴EM=FM=a．
在△EFM中，由余弦定理可得：cos∠EMF=

EM2+FM2-EF2

2EM•FM

=

a2×2-( 3 a)2

2×a2

=-

1

2

．
∴異面直線AD與BC所成的角的余弦值為

1

2

．

點評：本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系、三角形的中位線定理、異面直線所成的角、余弦定理，屬于中檔題．