Question

對于函數(shù)，若在定義域存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）是“局部奇函數(shù)”；（2）.

試題分析：（1）本題實質(zhì)就是解方程，如果這個方程有實數(shù)解，就說明是“局部奇函數(shù)”，如果這個方程無實數(shù)解，就說明不是“局部奇函數(shù)”，易知有實數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確是“局部奇函數(shù)”，也就是說方程一定有實數(shù)解，問題也就變成方程在上有解，求參數(shù)的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當于求函數(shù)的值域，用換元法（設(shè)），再借助于函數(shù)的單調(diào)性就可求出.
試題解析：(1)為“局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于的方程有解．
即（3分）
有解為“局部奇函數(shù)”．（5分）
(2)當時, 可轉(zhuǎn)化為（8分）
因為的定義域為,所以方程在上有解,令,（9分）
則
因為在上遞減,在上遞增,（11分）
（12分）
即（14分）