Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=16，數(shù)列{b_n}是公差為-1的等差數(shù)列，且b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，若存在正整數(shù)p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），求p，q得值；
（Ⅲ）若記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件推知{a_n}是等比數(shù)列，求出通項公式a_n，從而求出{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n}的通項公式b_n，假設(shè)存在正整數(shù)p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），列出解析式

5-p=q 5-q=p p＞q

，解得p，q的值；
（Ⅲ）由a_n、b_n的表達式可得c_n的表達式，寫出{c_n}的前n項和S_n，用錯位相減法可求s_n．

解答：解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}中，a₁=16，數(shù)列{b_n}是公差為-1的等差數(shù)列，且b_n=log₂a_n；
∴b_n+1=log₂a_n+1，∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log₂

an+1

an

=-1；
∴

an+1

an

=

1

2

，∴{a_n}是等比數(shù)列，通項公式為a_n=16×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5；
∴{b_n}的通項公式b_n=log₂a_n=log₂(

1

2

)n-5=5-n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}中，∵b_n=5-n，假設(shè)存在正整數(shù)p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），
則

5-p=q 5-q=p p＞q

，解得

p=3 q=2

，或

p=4 q=1

；
（Ⅲ）∵a_n=(

1

2

)n-5，b_n=5-n，∴c_n=a_n•b_n=（5-n）×(

1

2

)n-5；
∴{c_n}的前n項和S_n=4×(

1

2

)-4+3×(

1

2

)-3+2×(

1

2

)-2+…+[5-（n-1）]×(

1

2

)(n-1)-5+（5-n）×(

1

2

)n-5①，
∴

1

2

s_n=4×(

1

2

)-3+3×(

1

2

)-2+2×(

1

2

)-1+…+[5-（n-1）]×(

1

2

)n-5+（5-n）×(

1

2

)(n+1)-5②；
①-②得：

1

2

s_n=4×(

1

2

)-4-(

1

2

)-3-(

1

2

)-2-(

1

2

)-1-…-(

1

2

)n-5-（5-n）×(

1

2

)n-4=64-

( 1 2 )-3-( 1 2 )n-4

1- 1 2

-（5-n）×(

1

2

)n-4=48+（n-3）×(

1

2

)n-4；
∴s_n=96+（n-3）×(

1

2

)n-5．

點評：本題考查了數(shù)列求和的錯位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和等知識，也考查了一定的運算能力．