【題目】對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R,f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=-2時,求函數(shù)f(x)的不動點;
(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上A,B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點,且A,B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱,求b的最小值.
【答案】(1)-1和3.
(2)(0,1)
(3)-
【解析】
解:(1)∵a=1,b=-2時,f(x)=x2-x-3,
f(x)=xx2-2x-3=0x=-1,x=3,
∴函數(shù)f(x)的不動點為-1和3.
(2)即f(x)=ax2+(b+1)x+b-1=x有兩個不等實根,轉(zhuǎn)化為ax2+bx+b-1=0有兩個不等實根,需有判別式大于0恒成立,即Δ=b2-4a(b-1)>0Δ1=(-4a)2-4×4a<00<a<1,
∴a的取值范圍為(0,1).
(3)設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2),則x1+x2=-,
則A,B中點M的坐標(biāo)為(,),即M(-,-).
∵A,B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱,
且A,B在直線y=x上,
∴k=-1,A,B的中點M在直線y=kx+上.
∴-=+b=-=-,
利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)a=時,b的最小值為-.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運動比賽道,賽道的前一部分為曲線段,該曲線段是函數(shù), 時的圖象,且圖象的最高點為.賽道的中間部分為長千米的直線跑道,且.賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.
(1)求的值和的大小;
(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,矩形的一邊在道路上,一個頂點在半徑上,另外一個頂點在圓弧上,且,求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個焦點,且橢圓上的點到點的最大距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓,直線.試證:當(dāng)點在橢圓上運動時,直線與圓恒相交,并求直線被圓所截得弦長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的實軸長為4,焦距為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l經(jīng)過點且與橢圓C交于不同的兩點M,N(異于橢圓的左頂點),設(shè)點Q是x軸上的一個動點.直線QM,QN的斜率分別為,,試問:是否存在點Q,使得為定值?若存在.求出點Q的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
美國華爾街的次貸危機引起的金融風(fēng)暴席卷全球,低迷的市場造成產(chǎn)品銷售越來越難,為此某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用萬元滿足,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),每件產(chǎn)品的銷售價格定為元.
(Ⅰ)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)(利潤=總售價-成本-促銷費);
(Ⅱ)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了傳承經(jīng)典,促進學(xué)生課外閱讀,某校從高中年級和初中年級各隨機抽取100名學(xué)生進行有關(guān)對中國四大名著常識了解的競賽,圖1和圖2分別是高中年級和初中年級參加競賽的學(xué)生成績按照,,分組,得到的頻率分布直方圖.
(1)完成下列的列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“兩個學(xué)段的學(xué)生對四大名著的了解有差異”?
成績小于60分的人數(shù) | 成績不小于60的人數(shù) | 合計 | |
初中年級 | |||
高中年級 | |||
合計 |
(2)規(guī)定競賽成績不少于70分的為優(yōu)秀,按分層抽樣的方法從高中,初中年級優(yōu)秀學(xué)生中抽取5人進行復(fù)賽,在復(fù)賽人員中選3人進行面試,記面試人員中來自初中段的為隨機變量X,求隨機變量X的分布列與期望.
其中
附表:
0.10 | 0.05 | span>0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們剛剛結(jié)束了史上最長寒假,經(jīng)高二各班數(shù)學(xué)老師了解,同學(xué)們每天沉迷于學(xué)習(xí)中不能自拔,每天認(rèn)真完成作業(yè),作業(yè)正確率很高,為同學(xué)們點贊!某個周日一位同學(xué)正在三河灘鍛煉身體,突然接到級部通知回家開網(wǎng)絡(luò)學(xué)生會,從三河灘某處A到對岸公路BC的距離AB為2km, B處與家C間的距離為4km,從A到C,必須先步行到BC上的某一點D,步行速度為5km/h,再乘電動車到C,電動車車速為10km/h,記
(1)試將由A到C所用的時間t表示為的函數(shù);
(2)間為多少時,由A到C所用的時間t最少?
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