Question

14．在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{ac}{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}=\frac{sinAcosA}{{cos（{A+C}）}}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求bc的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理，二倍角公式化簡可得sin2A=1，進而可求2A=$\frac{π}{2}$，即可得解A的值．
（2）根據(jù)正弦定理可得bc=4sinBsinC，結(jié)合C=$\frac{3π}{4}$-B，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得bc=2sin（2B-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，結(jié)合B的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解bc的范圍．

解答 （本小題滿分15分）
解：（1）∵$\frac{ac}{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}=\frac{sinAcosA}{{cos（{A+C}）}}$，由余弦定理可得：$\frac{ac}{-2accosB}=\frac{sinAcosA}{-cosB}$，-----------------（2分）
∴cosB≠0，
∴2sinAcosA=1，即sin2A=1，---------------（4分）
∴2A=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{4}$．------------------------（6分）
（2）∵正根據(jù)弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴bc=4sinBsinC，-----------（8分）
∵C=$\frac{3π}{4}$-B，
∴bc=4sinBsin（$\frac{3π}{4}$-B）=4sinB（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB）
=$\sqrt{2}$sin2B+$\sqrt{2}$（1-cos2B），
∴bc=2sin（2B-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，-----------------------（12分）
在三角形ABC中，得到B的范圍：$（{0，\frac{3π}{4}}）$，$2B-\frac{π}{4}∈（{-\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}）$，-----------（14分）
則bc范圍：$（{0，2+\sqrt{2}}]$．------------------------------------------------------（15分）

點評 本題主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．