Question

（2012•江蘇一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分別是AA₁和B₁C的中點(diǎn)
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，通過(guò)證明四邊形EGAD是平行四邊形，推出ED∥AG，然后證明DE∥平面ABC．
（2）證明AD∥平面BCE，利用V_E-BCD=V_D-BCE=V_A-BCE=V_E-ABC，然后求解幾何體的體積．

解答：解：（1）證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，
因?yàn)镋是B₁C的中點(diǎn)，所以EG∥BB₁，
且EG=

1

2

BB1．
由直棱柱知，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，而D是AA₁的中點(diǎn)，
所以EG∥AD，EG=AD（4分）
所以四邊形EGAD是平行四邊形，
所以ED∥AG，又DE?平面ABC，AG?平面ABC
所以DE∥平面ABC．  （7分）
（2）解：因?yàn)锳D∥BB₁，所以AD∥平面BCE，
所以V_E-BCD=V_D-BCE=V_A-BCE=V_E-ABC，（10分）
由（1）知，DE∥平面ABC，
所以VE-ABC=VD-ABC=

1

3

AD•

1

2

BC•AG=

1

6

×3×6×4=12．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．