如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA^底面ABCD，AE^PD，EF∥CD，AM=EF．

（1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；

（2）若PA=3AB，求直線AC與平面EAM所成角的正弦值．

答案：
解析：

（1）證明：因PA^底面，有PA^AB，又知AB^AD，

故AB^面PAD，推得BA^AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

證得AEFM是矩形，故AM^MF．

又因AE^PD，AE^CD，故AE^面PCD，

而MF∥AE，得MF^面PCD，

故MF^PC，

因此MF是AB與PC的公垂線．

（2）解：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)BE，過(guò)O作BE的垂線OH，

垂足H在BE上．

易知PD^面MAE，故DE^BE，

又OH^BE，故OH∥DE，

因此OH^面MAE．

連接AH，則ÐHAO是所要求的線AC與面MAE所成的角．

設(shè)AB=a，則PA=3a，

因RtDADE∽RtDPDA，故

，

．

從而在RtDAHO中

．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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