Question

【題目】對于給定的正整數k，如果各項均為正數的數列{an}滿足：對任意正整數n（n＞k），an﹣kan﹣k+1…an﹣1an+1…an+k﹣1an+k=an2k總成立，那么稱{an}是“Q（k）數列”．
（1）若{an}是各項均為正數的等比數列，判斷{an}是否為“Q（2）數列”，并說明理由；
（2）若{an}既是“Q（2）數列”，又是“Q（3）數列”，求證：{an}是等比數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：假設{an}是各項均為正數的等比數列，由等比數列的性質可得：an﹣2an﹣1an+1an+2=an﹣2an+2an﹣1an+1= = ．

∴{an}為“Q（2）數列”

（2）證明：{an}既是“Q（2）數列”，又是“Q（3）數列”，

∴an﹣2an﹣1an+1an+2= ．an﹣3an﹣2an﹣1an+1an+2an+3= ．

可得：an﹣3an+3= ．對于任意n∈N*（n≥4）都成立．

∴{an}是等比數列

【解析】（1）根據等比數列的性質an-1an+1=an2即可求證；（2）根據題意可知數列滿足關系式an-2an-1an+1an+2=an4和an-3an-2an-1an+1an+2an+3=an6，兩式相除可得an-3an+3=an2.
【考點精析】本題主要考查了等比數列的基本性質的相關知識點，需要掌握{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列才能正確解答此題．