Question

已知m，n為正整數(shù)．

(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞－1時，(1＋x)^m≥1＋mx；

(Ⅱ)對于n≥6，已知，求證，m＝1，1，2…，n；

(Ⅲ)求出滿足等式3ⁿ＋4^m＋…＋(n＋2)^m＝(n＋3)ⁿ的所有正整數(shù)n

Answer 1

答案：
解析：

解法1：(Ⅰ)證：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　(ⅰ)當(dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊， 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0677/0021/eee072ecb00011daec99a9dc9a3f46d7/C/Image358.gif" width=49 height=21>，所以左邊右邊，原不等式成立； 　　(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時， ，，于是在不等式兩邊同乘以得 ， 所以．即當(dāng)時，不等式也成立． 綜合(ⅰ)(ⅱ)知，對一切正整數(shù)，不等式都成立． 　　(Ⅱ)證：當(dāng)時，由(Ⅰ)得， 于是，． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，當(dāng)時， ， ． 即．即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)． 故只需要討論的情形： 當(dāng)時，，等式不成立； 當(dāng)時，，等式成立； 當(dāng)時，，等式成立； 當(dāng)時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立； 當(dāng)時，同的情形可分析出，等式不成立． 綜上，所求的只有． 　　解法2：(Ⅰ)證：當(dāng)或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)，且時，，．　　① 　　(ⅰ)當(dāng)時，左邊，右邊，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0677/0021/eee072ecb00011daec99a9dc9a3f46d7/C/Image406.gif" width=37 height=18>，所以，即左邊右邊，不等式①成立； 　　(ⅱ)假設(shè)當(dāng)時，不等式①成立，即，則當(dāng)時，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0677/0021/eee072ecb00011daec99a9dc9a3f46d7/C/Image412.gif" width=45 height=18>，所以．又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0677/0021/eee072ecb00011daec99a9dc9a3f46d7/C/Image414.gif" width=89 height=22>，所以． 于是在不等式兩邊同乘以得 ， 所以．即當(dāng)時，不等式①也成立． 綜上所述，所證不等式成立． 　　(Ⅱ)證：當(dāng)，時，，， 而由(Ⅰ)，， ． 　　(Ⅲ)解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有．　　　　�、� 又由(Ⅱ)可得 ，與②式矛盾． 故當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)． 　　下同解法1．