Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，已知當x＞0時，f（x）=-（x+1）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m²+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=-（x+1）²．
∴當-x＞0時，f（-x）=-（-x+1）²=-（x-1）²．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-（x-1）²=-f（x），
則f（x）=（x-1）²，x＜0，
則函數(shù)f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}，}&{x＜0}\\{0，}&{x=0}\\{-（x+1）^{2}，}&{x＞0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）若f（m²+2m）+f（m）＞0，
則f（m²+2m）＞-f（m）=f（-m），
當x＞0時，f（x）=-（x+1）²為減函數(shù)，且f（x）＜-1＜f（0），
當x＜0時，f（x）=（x-1）²為減函數(shù)，且f（x）＞1＞f（0），
則函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，
則m²+2m＜-m，
即m²+3m＜0，
則-3＜m＜0，
即m的取值范圍是（-3，0）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．