Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1、F2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)（，）在橢圓C上．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）在橢圓C上任取一點(diǎn)P，點(diǎn)Q在PO的延長(zhǎng)線上，且=2．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q形成的軌跡E的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線l：y=x+m交（1）中的曲線E于A，B兩點(diǎn)，求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)在橢圓上，列出方程組，求出，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）（1）設(shè)，則，由此能求出當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)形成的軌跡的方程；（2）聯(lián)立，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知能求出面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）∵F1、F2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，

且右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)（，）在橢圓C上，

∴，解得a=2，b=1，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1．

（Ⅱ）（1）∵在橢圓C上任取一點(diǎn)P，點(diǎn)Q在PO的延長(zhǎng)線上，且=2，

∴設(shè)P（2cosθ，sinθ），則Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，

∴當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q形成的軌跡E的方程：

，0≤θ＜2π，

∴點(diǎn)E的直角坐標(biāo)方程為：=1．

（2）聯(lián)立，得5x2+8mx+4m2﹣16=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，

△=64m2﹣80m2+320＞0，解得﹣2，

|AB|==，

設(shè)Q（4cosθ，2sinθ），則Q到直線y=x+m的距離d==|2sin（θ+α）+m|，

∴當(dāng)m=0時(shí)，△ABQ面積取最大值S==8．