Question

求下列函數(shù)的值域：

(1)y＝5＋；

(2)若為實數(shù)，求y＝x²＋2x＋3的值域；

(3)y＝2x＋4；

(4)y＝；

(5)y＝x＋5，x∈(－6，7)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∈[0，＋∞)， 　　∴f(x)∈[5，＋∞)， 　　即函數(shù)y＝5＋的值域是{y|y≥5}． 　　(2)由題設(shè)知x≥0，又y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 　　∴當x＝0時，ymin＝3，函數(shù)無最大值． 　　∴函數(shù)y＝x2＋2x＋3的值域是{y|y≥3}． 　　(3)設(shè)t＝，則t≥0，且x＝1－t2， 　　代入y＝2x＋4，得 　　y＝2×(1－t2)＋4t＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4． 　　∵t≥0，∴y≤4． 　　∴函數(shù)y＝2x＋4的值域是{y|y≤4}． 　　(4)[方法1]由y＝，得 　　(y－1)x2＋(y＋1)＝0．① 　　當y＝1時， 　　若方程①有解，則必有即即 　　即函數(shù)y＝的值域為[－1，1)． 　　[方法2]由y＝得x2＝． 　　∵x2≥0，∴≥0，即 　　(Ⅰ)或(Ⅱ)． 　　解(Ⅰ)得解集為空集，解(Ⅱ)得－1≤y＜1， 　　即函數(shù)y＝的值域為[－1，1)． 　　(5)由y＝x＋5，得x＝y(tǒng)－5， 　　∵x∈(－6，7)， 　　∴－6＜x＜7，即－6＜y－5＜7． 　　∴－1＜y＜12，即函數(shù)的值域為(－1，12)． 　　思路分析：求函數(shù)的值域時要根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來選擇適當?shù)那笾涤虻姆椒ǎ?1)的結(jié)構(gòu)比較簡單，可用分析、觀察法求值域；(2)是二次函數(shù)型函數(shù)，可用配方法求函數(shù)的值域；(3)則采用換元法求函數(shù)的值域；(4)既可以利用判別式法求解，也可以利用反表示法求解；(5)利用不等式法求解．