Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，若橢圓C的焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M為橢圓上任意一點，以M為圓心，MF₁為半徑作圓M，當圓M與直線l：x=

a2

c

有公共點時，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦距為2求出c的值，再由離心率為

1

2

可求出a的值，進而得到b的值寫出橢圓方程．
（2）先設M的坐標為（x₀，y₀）根據(jù)題意滿足

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，再表示出直線l的方程，因為圓M與l有公共點可得到M到l的距離4-x₀小于或等于圓的半徑R，整理可得到關系y₀²+10x₀-15≥0，再由則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1消去y₀，求出x₀的取值范圍，再表示出△MF₁F₂面積即可求出最大值．

解答：解：（1）因為2c=2，且

c

a

=

1

2

，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設點M的坐標為（x₀，y₀），
則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
因為F₁（-1，0），

a2

c

=4，
所以直線l的方程為x=4．
由于圓M與l有公共點，
所以M到l的距離4-x₀小于或等于圓的半徑R．
因為R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
所以（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又因為

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，
所以3-

3 x 2 0

4

+10x0-15≥0．
解得

4

3

≤x0≤12．又

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

4

3

≤x0＜2
當x0=

4

3

時，|y0|=

15

3

，
所以(S△MF1F2)max=

1

2

×2×

15

3

=

15

3

．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點，每年必考，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，要想答對此題必須熟練掌握其基礎知識，對各種題型多加練習．