Question

17．函數(shù)y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$的值域為[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

Answer 1

分析 由分母不為零求出sinx-cosx≠-1，再設(shè)t=sinx-cosx，利用兩角和的正弦公式化簡，求出t的范圍，由平方關(guān)系表示出sinxcosx，代入解析式化簡，再由t的范圍和一次函數(shù)的單調(diào)性，求出原函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$，
∵分母不能為零，即sinx-cosx≠-1，
設(shè)t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$，且t≠-1．
則sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
可得函數(shù)y=$\frac{sinxcosx}{1+sinx-cosx}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{1+t}$=$\frac{1}{2}$（t-1）=$\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}$
根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)y的值域為[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．
故答案為：[$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

點評 本題主要考查了“sinx-cosx”和“sinxcosx”的關(guān)系，利用平方關(guān)系建立關(guān)系式，以及換元法求函數(shù)的最值問題，注意換元后需要求出未知數(shù)的范圍．