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16.已知F為拋物線y2=4x的焦點,P(x,y)是該拋物線上的動點,點A是拋物線的準線與x軸的交點,當|PF||PA|最小時,點P的坐標為(1,±2).

分析 過點P作PM垂直于準線,M為垂足,則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,則|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM,故當PA和拋物線相切時,則|PF||PA|最�。倮弥本€的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標,從而求得|PF||PA|的最小值及P的坐標.

解答 解:由題意可得,焦點F(1,0),準線方程為x=-1.
過點P作PM垂直于準線,M為垂足,
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,
|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM,∠PAM為銳角.
故當∠PAM最小時,則|PF||PA|最小,
故當PA和拋物線相切時,|PF||PA|最�。�
可設(shè)切點P(a,2a),
則PA的斜率為k=2a0a+1,
而函數(shù)y=2x的導數(shù)為y′=(2x)′=1x,
即為2a0a+1=1a,
求得a=1,可得P(1,2),
則|PM|=2,|PA|=22,
即有sin∠PAM=|PM||PA|=222=22,
由拋物線的對稱性可得P為(1,-2)時,同樣取得最小值22
故答案為:(1,±2).

點評 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用,直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.

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