Question

8．若關(guān)于x的方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m在（0，+∞）內(nèi)恰有三個相異實根，則實數(shù)m的取值范圍為（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 分類討論以去掉絕對值號，從而利用基本不等式確定各自方程的根的個數(shù)，從而解得．

解答 解：當x≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，5x-$\frac{4}{x}$≥0，
∵方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m，
∴（4x+$\frac{5}{x}$）-（5x-$\frac{4}{x}$）=m，即-x+$\frac{9}{x}$=m；
∴m≤$\frac{41}{10}\sqrt{5}$．
當0＜x＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，5x-$\frac{4}{x}$＜0，
∵方程（4x+$\frac{5}{x}$）-|5x-$\frac{4}{x}$|=m，
∴（4x+$\frac{5}{x}$）+（5x-$\frac{4}{x}$）=m，
即9x+$\frac{1}{x}$=m；
∵9x+$\frac{1}{x}$≥6；
∴當m＜6時，方程9x+$\frac{1}{x}$=m無解；
當m=6時，方程9x+$\frac{1}{x}$=m有且只有一個解；
當6＜m＜10時，方程9x+$\frac{1}{x}$=m在（0，1）上有兩個解；
當m=10時，方程9x+$\frac{1}{x}$=m的解為1，$\frac{1}{9}$；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．
故答案為：（6，$\frac{41}{10}\sqrt{5}$）．

點評 本題考查了絕對值方程的解法與應(yīng)用，同時考查了基本不等式的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．