設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a2=2,a3a4a5=29.
(1)求首項a1和公比q的值;
(2)試證明數(shù)列{logman}(m>0且m≠1)為等差數(shù)列.
分析:(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),化簡a3a4a5=29,得到a4的值,然后利用a4比上a2,即可列出關(guān)于公比q的方程,求出方程的解得到q的值,然后由a4的值和q的值即可求出首項a1的值;
(2)把(1)求出的通項公式代入數(shù)列{logman}中,得到bn的通項公式,表示出bn+1-bn的差,利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡后,得到其差為常數(shù),從而得到數(shù)列{logman}為等差數(shù)列.
解答:解:(1)∵a
3a
4a
5=(a
4)
3=2
9⇒a
4=2
3=8(a
4>0),(3分)
∴
=q2=4⇒q=2,(5分)
又由a
4=a
1q
3,即8=a
1•2
3,解得a
1=1.(7分)
(2)證明:由(1)知,a
n=2
n-1.(9分)
設(shè)b
n=log
ma
n,則b
n=log
m2
n-1=(n-1)log
m2.(12分)
∵b
n+1-b
n=nlog
m2-(n-1)log
m2=log
m2=常數(shù),
∴數(shù)列{b
n}為等差數(shù)列,即數(shù)列{log
ma
n}(m>0且m≠1)為等差數(shù)列.(14分)
點評:此題要求學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì),靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值,掌握等差數(shù)列的確定方法.學(xué)生做題時注意等比數(shù)列{an}的各項為正數(shù),熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì).