Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值所組成的集合A；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=

1

x

的兩個根為x₁、x₂，若對任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)?f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立?x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立，設(shè)φ（x）=x²-ax-2，由

φ(1)≤0 φ(-1)≤0

即可求得答案；
（2）由（1）求得-1≤a≤1，于是可求得|x₁-x₂|=

a2+8

≤3，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立?m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，從而可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．
設(shè)φ（x）=x²-ax-2，則問題等價于

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∴A=[-1，1]．
（2）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，從而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∵-1≤a≤1，
∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm-2≥0≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．
設(shè)g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），則問題又等價于

g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0

?m≤-2，
∴m≥2，即m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查綜合法與分析法的應(yīng)用，（2）中求得|x₁-x₂|≤3是關(guān)鍵，也是難點．屬于難題．