Question

17．在四面體ABCD中，A-BD-C為直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，則直線(xiàn)AC與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，則AO⊥平面BDC，AO⊥BD，CO⊥BD，從而∠AOC是二面角A-BD-C 平面角，且∠AOC=90°，由AO⊥平面BDC，知∠ACO是直線(xiàn)AC與平面BCD所成角，由此能求出直線(xiàn)AC與平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：如圖，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，
∵在四面體ABCD中，A-BD-C為直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，
∴AO⊥平面BDC，AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC是二面角A-BD-C 平面角，且∠AOC=90°，
∵AO⊥平面BDC，∴∠ACO是直線(xiàn)AC與平面BCD所成角，
∵AB=AD=5，BC=CD=DB=6，
∴AO=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，CO=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{16+27}$=$\sqrt{43}$，
∴sin∠ACO=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{4}{\sqrt{43}}=\frac{4\sqrt{43}}{43}$．
∴直線(xiàn)AC與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面角的正弦值的求法；考查邏輯推理與空間想象能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想．是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．