Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，若log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，則

1

n

+

4

m

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，可得a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，由log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，可得n+4m=10，進(jìn)而利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，前n項(xiàng)和為S_n，
∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[

1

2

a_n•（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴

1

n

+

4

m

=

1

10

（n+4m）（

1

n

+

4

m

）=

1

10

（17+

4n

m

+

4m

n

）≥

1

10

（17+8）=2.5
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)取等號(hào)，
∴

1

n

+

4

m

的最小值是2.5．
故答案為：2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查基本不等式，確定n+4m=10，進(jìn)而利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式是關(guān)鍵．