Question

3．模擬考試后，某校對甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：不少于120分為優(yōu)秀，否則為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表，已知在甲、乙兩個(gè)班全部100人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	20	30	50
乙班	10	40	50
合計(jì)	30	70	100

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”？
（3）在“優(yōu)秀”的學(xué)生人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中甲班學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式與臨界值表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為x人，根據(jù)甲、乙兩個(gè)班全部100人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$列出方程，求出方程的解得到x的值，確定出乙班與甲班的總?cè)藬?shù)，填寫表格即可；
（2）把a(bǔ)，b，c，d的值代入K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷；
（3）求出分層抽樣中甲乙兩班的優(yōu)秀人數(shù)，確定出ξ的值，進(jìn)而確定出ξ的分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為x人，
根據(jù)題意得：$\frac{20+x}{100}$=$\frac{3}{10}$，
解得：x=10，
∴乙班總?cè)藬?shù)為10+40=50（人），甲班總?cè)藬?shù)為100-50=50（人），
填表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	20	30	50
乙班	10	40	50
合計(jì)	30	70	100

故答案為：30；50；10；50；30；70；
（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（20×40-10×30）^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762，
∵4.762＜5.024，
∴沒有達(dá)到可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；
（3）在抽取的6人中，甲班為$\frac{20}{30}$×6=4（人），乙班為$\frac{10}{30}$×6=2（人），
∴ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
即ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

則數(shù)學(xué)期望Eξ=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

點(diǎn)評 此題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，ξ分布列以及數(shù)學(xué)期望，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．