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3.模擬考試后,某校對甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)考試成績進行分析,規(guī)定:不少于120分為優(yōu)秀,否則為非優(yōu)秀,統(tǒng)計成績后,得到如下的2×2列聯(lián)表,已知在甲、乙兩個班全部100人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為310
優(yōu)秀非優(yōu)秀合計
甲班203050
乙班104050
合計3070100
(1)請完成上面的2×2列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”?
(3)在“優(yōu)秀”的學(xué)生人中,用分層抽樣的方法抽取6人,再平均分成兩組進行深入交流,求第一組中甲班學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與臨界值表:K2=nadbc2a+bc+da+cb+d
P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828

分析 (1)設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為x人,根據(jù)甲、乙兩個班全部100人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為310列出方程,求出方程的解得到x的值,確定出乙班與甲班的總?cè)藬?shù),填寫表格即可;
(2)把a,b,c,d的值代入K2=nadbc2a+bc+da+cb+d,計算得到結(jié)果,即可作出判斷;
(3)求出分層抽樣中甲乙兩班的優(yōu)秀人數(shù),確定出ξ的值,進而確定出ξ的分布列,即可求出數(shù)學(xué)期望Eξ.

解答 解:(1)設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為x人,
根據(jù)題意得:20+x100=310,
解得:x=10,
∴乙班總?cè)藬?shù)為10+40=50(人),甲班總?cè)藬?shù)為100-50=50(人),
填表如下:

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計
甲班203050
乙班104050
合計3070100
故答案為:30;50;10;50;30;70;
(2)K2=nadbc2a+bc+da+cb+d=100×20×4010×30250×50×30×70≈4.762,
∵4.762<5.024,
∴沒有達到可靠性要求,不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”;
(3)在抽取的6人中,甲班為2030×6=4(人),乙班為1030×6=2(人),
∴ξ=1,2,3,
P(ξ=1)=C14C22C36=15,P(ξ=2)=C24C12C36=35,P(ξ=3)=C34C12C36=15,
即ξ的分布列為:
 ξ123
 P15  35 15
則數(shù)學(xué)期望Eξ=1×15+2×35+3×15=2.

點評 此題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用,ξ分布列以及數(shù)學(xué)期望,弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵.

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(2)記在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)所得的班級積分之和為隨機變量ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.

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