Question

已知向量，函數(shù)f（x）=a•b，（x∈R），
（Ⅰ）將函數(shù)y=2sinx的圖象做怎樣的變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象？
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）區(qū)間[0，]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，求cos2x₀的值．

Answer 1

解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移個(gè)單位，再保持圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，可得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象
（或?qū)⒑瘮?shù)y=2sinx的圖象上各點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再把所得函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+），x∈[0，]∴2x+]
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，
當(dāng)2x+，即x=時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值2，
當(dāng)2x+，即x=時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值-，
（Ⅲ） f（x₀）=]，即sin（2x₀+=
∵2x₀+]，又sin（2x₀+=＜sin
∴2x₀+，π），∴cos（2x₀+=，
∴cos2x₀=cos（2x₀+）=cos（2x₀+cos +sin（2x₀+）sin=-．
分析：（1）按照向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出f（x）=2sin（2x+），再根據(jù)圖象變化規(guī)律得到變換的方式．
（2）將看作整體，求出范圍，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求最值．
（3）由已知sin（2x₀+=，將2x₀轉(zhuǎn)化成（2x₀+） 再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，圖象變換、正弦函數(shù)單調(diào)性、最值、兩角和與差的三角函數(shù)．考查轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、計(jì)算能力．