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已知函數f（x）=ax2+bx+c，且數學公式．
（1）求證：a＞0且數學公式；
（2）求證：函數f（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點；
（3）設x1，x2是函數f（x）的兩個零點，求|x1-x2|的范圍．

（1）證明：∵f（1）=a+b+c=-，∴c=-a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，則；若a=0，則0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，則，不成立．
（2）證明：∵f（x）=ax2+bx+c，a＞0，b＜0，
∴-b＞a＞-b
f（2）=4a+2b+c=；f（0）=c=-a-b
f（0）×f（2）=-（a+b）2+b2＜0
又因為是連續(xù)函數，故（0，2）中必有零點
∴在（0，2）區(qū)間內至少必有一個點f（x）=0，即在此區(qū)間內至少有一個零點
（3）解：∵x1+x2=-；x1x2=
又b=-（c+a）
∴|x1-x2|2=（x1 +x2）2-4x1x2=（）2=（-）2+2≥2
即|x1-x2|2≥2
∴|x1-x2|≥
分析：（1）根據f（1）=a+b+c=-，可得c=-a-b，結合3a＞2c＞2b，可得結論；
（2）利用零點存在定理，證明ff（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x1-x2|2=（x1 +x2）2-4x1x2==（-）2+2≥2，由此可得結論．
點評：本題考查函數的零點，考查韋達定理的運用，考查不等式的證明，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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已知函數f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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已知函數f（x）=a•2x+b•3x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
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已知函數f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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