Question

定義：稱為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，試求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用給出的定義得到，整理得到．分n=1和n≥2求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，驗(yàn)證n=1時(shí)滿足，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入，然后利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由已知定義，得，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，即．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）由a_n=4n-1，所以=（4n-1）•2ⁿ．
則數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n=d₁+d₂+d₃+…+d_n．
即 （1）
（2）
（1）-（2）得：
==-10+（5-4n）•2ⁿ⁺¹．
所以 ．
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．