Question

（理）已知雙曲線x²-y²=a²（其中a＞0）．
（1）若定點A（4，0）到雙曲線上的點的最近距離為

5

，求a的值；
（2）若過雙曲線的左焦點F₁，作傾斜角為α的直線l交雙曲線于M、N兩點，其中α∈（

π

4

，

3π

4

），F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點．求△F₂MN的面積S．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)出雙曲線上的點P，由兩點間的距離公式得到|AP|，然后對a分類求得|AP|的最小值，進一步求得a的值；
（2）分直線l和x軸垂直和不垂直求解，△F₂MN的面積，垂直時直接計算，不垂直時設(shè)出直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求三角形的邊長，代入面積公式求面積．

解答： 解：（1）設(shè)點P在雙曲線上，由題意得：|AP|²=（x-4）²+y²=2（x-2）²+8-a²，
由雙曲線的性質(zhì)，得|x|≥a．
（i）若0＜a≤2，則當(dāng)x=2時，AP有最小值．最小值|AP|²=8-a²=5，∴a=

3

．
（ii）若a＞2，則當(dāng)x=a時，AP有最小值，此時|AP|²=a²-8a+16=5，解得a=4+

5

．
（2）F1(-

2

a，0)，|F1F2|=2

2

a，直線l與x軸垂直時，|MN|=2a，此時，△F₂MN的面積S=

1

2

|MN|•|F1F2|=2

2

a2．
直線l與x軸不垂直時，直線l方程為y=tanα(x+

2

a)，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將y=tanα(x+

2

a)代入雙曲線方程，整理得：
(1-tan2α)x2-2

2

atan2αx-2a2tan2α-a2=0，
x1+x2=

2 2 atan2α

1-tan2α

，x1x2=-

2a2tan2α+a2

1-tan2α

，
(x2-x1)2=(

2 2 tan2α

1-tan2α

)2+

8a2tan2α+4a2

1-tan2α

=

4a2(1+tan2α)

(1-tan2α)2

，
點F₂到直線MN距離d=

|2 2 atanα|

1+tan2α

，
△F₂MN的面積S=

1

2

|MN|d=

1

2

1+tan2α

|x1-x2|

|2 2 atanα|

1+tan2α

=2

2

a2|

sinα

1-2sin2α

|．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．