Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1時(shí)，f（x）取極小值 ．

（1）f（x）的解析式；

（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直：

（3）設(shè)F（x）=|xf（x）|，證明： 時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（1） （2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】解：（1）因?yàn)椋?/span>x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以：b=d=0，

由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得

解之得：，c=﹣1從而，函數(shù)解析式為：

（2）由于，f'（x）=x2﹣1，

設(shè)：任意兩數(shù)x1，x2∈[﹣1，1]是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是：k1=f'（x1）=x12﹣1，k2=f'（x2）=x22﹣1

又因?yàn)椋憨?/span>1≤x1≤1，﹣1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠﹣1

故，當(dāng)x∈[﹣1，1]是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直）

（3）當(dāng)：時(shí)，x2∈（0，3）且3﹣x2＞0此時(shí)F（x）=|xf（x）|===

當(dāng)且僅當(dāng)：x2=3﹣x2，即，取等號(hào)，故；