Question

函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x+2|-a

．
（Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A；
（Ⅱ）設(shè)B={x|-1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b∈B∩（∁_RA）時(shí)，求證：

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，得|x+1|+|x+2|-5≥0；求出x的取值范圍，即是f（x）的定義域A；
（Ⅱ）由A、B求出B∩C_RA，即得a、b的取值范圍，由此證明

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=5時(shí)，函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x+2|-5

，
∴|x+1|+|x+2|-5≥0；
即|x+1|+|x+2|≥5，
當(dāng)x≥-1時(shí)，x+1+x+2≥5，∴x≥1；
當(dāng)-1＞x＞-2時(shí)，-x-1+x+2≥5，∴x∈∅；
當(dāng)x≤-2時(shí)，-x-1-x-2≥5，∴x≤-4；
綜上，f（x）的定義域是A={x|x≤-4或x≥1}．
（Ⅱ）∵A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|-1＜x＜2}，
∴∁_RA=（-4，1），
∴B∩C_RA=（-1，1）；
又∵

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|?2|a+b|＜|4+ab|，
而

4(a+b)2-(4+ab)2 =4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2) =4a2+4b2-a2b2-16 =a2(4-b2)+4(b2-4) =(b2-4)(4-a2)

；
當(dāng)a，b∈（-1，1）時(shí)，
（b²-4）（4-a²）＜0；
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
即

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域以及集合的運(yùn)算和不等式的解法與證明問(wèn)題，是綜合題，解題時(shí)應(yīng)把含絕對(duì)值的不等式分類討論，不等式證明時(shí)常用作差法，是中檔題．