Question

5．某統(tǒng)計部門就“A市汽車價格區(qū)間的購買意愿”對100人進行了問卷調(diào)查，并將結果制作成頻率分布直方圖，如圖，已知樣本中數(shù)據(jù)在區(qū)間[10，15）上的人數(shù)與數(shù)據(jù)在區(qū)間[25，30）的人數(shù)之比為3：4．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）估計A市汽車價格區(qū)間購買意愿的中位數(shù)；
（Ⅲ）按分層抽樣的方法在數(shù)據(jù)區(qū)間[10，15）和[20，25）上接受調(diào)查的市民中選取6人參加座談，再從這6人中隨機選取2人作為主要發(fā)言人，求在[10，15）的市民中至少有一人被選中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設樣本中數(shù)據(jù)在區(qū)間[10，15）上的人數(shù)與數(shù)據(jù)在區(qū)間[25，30）的人數(shù)分別為3k，4k，利用頻率分布直方圖求出k，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得數(shù)據(jù)區(qū)間[5，20）內(nèi)的頻率為0.4，數(shù)據(jù)區(qū)間[20，25）內(nèi)的頻率為0.3，由此能求出A市汽車價格區(qū)間購買意愿的中位數(shù)．
（Ⅲ）按分層抽樣的方法在數(shù)據(jù)區(qū)間[10，15）和[20，25）上接受調(diào)查的市民中選取6人參加座談，在數(shù)據(jù)區(qū)間[10，15）上選取2人，[20，25）上選取4人，由此利用對立事件概率計算公式能求出在[10，15）的市民中至少有一人被選中的概率．

解答 解：（Ⅰ）設樣本中數(shù)據(jù)在區(qū)間[10，15）上的人數(shù)與數(shù)據(jù)在區(qū)間[25，30）的人數(shù)分別為3k，4k，
則$\left\{\begin{array}{l}{（0.01+a+b+0.06+b+0.02）×5=1}\\{0.03k+0.04k+0.04k=1-（0.01+0.06+0.02）×5}\end{array}\right.$，
解得k=5，∴a=0.03k÷5=0.03，b=0.04k÷5=0.04．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得數(shù)據(jù)區(qū)間[5，20）內(nèi)的頻率為：（0.01+0.03+0.04）×5=0.4，
數(shù)據(jù)區(qū)間[20，25）內(nèi)的頻率為：0.06×5=0.3，
∴A市汽車價格區(qū)間購買意愿的中位數(shù)為：
20+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×5$=$\frac{65}{3}$．
（Ⅲ）按分層抽樣的方法在數(shù)據(jù)區(qū)間[10，15）和[20，25）上接受調(diào)查的市民中選取6人參加座談，
則在數(shù)據(jù)區(qū)間[10，15）上選�。�6×$\frac{0.03}{0.03+0.06}$=2人，[20，25）上選取：6×$\frac{0.06}{0.03+0.06}$=4人，
從這6人中隨機選取2人作為主要發(fā)言人，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，
在[10，15）的市民中至少有一人被選中的對立事件是選中的2人都在[20，25）內(nèi)，
∴在[10，15）的市民中至少有一人被選中的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查分層抽樣的應用，考查中位數(shù)的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．