Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為負數(shù)，且a₁+a₂+a₃=15，若a₁+1，a₂-3，a₃-7經(jīng)重新排列后依次可成等比數(shù)列，求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₂=5，令a₁=5+t，a₃=5-t（t＞0），由已知求出t=2，從而得到a_n=9-2n
（2）Sn=

n

2

(a1+an)=-n²+8n=-（n-4）²+16，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n的最大值．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₁+a₂+a₃=3a₂=15
∴a₂=5
∴令a₁=5+t，a₃=5-t（t＞0）
∴a₁+1=6+t＞0，a₂-3=2＞0，a₃-7=-2-t＜0
∴2（6+t）=（-2-t）²
∴t=2（∵t＞0）
∴a₁=7，
∴a_n=9-2n
（2）Sn=

n

2

(a1+an)
=

n

2

(7+9-2n)=-n²+8n
=-（n-4）²+16，
∴當n=4時，S_n有最大值，且最大值為16．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的最大值的求法，解題時要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．