Question

2．已知在${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^n}$的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大．
（1）判斷展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若存在，求出常數(shù)項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）先求出n=8，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)0，求出k的值，即可判斷是否有常數(shù)項(xiàng)
（2）分別令x的指數(shù)為整數(shù)，即可求出有理項(xiàng)．

解答 解：（1）項(xiàng)式系數(shù)最大的只有第5項(xiàng)C_n⁴ 最大，n=8
∴T_k+1=C₈^k（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=（-1）^k2^-kC₈^kx${\;}^{\frac{16-3k}{4}}$，
若存在常數(shù)項(xiàng)，則$\frac{16-3k}{4}$=0，
即3k=16，又k∈N，這不可能，
∴沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
（2）：若T_k+1為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16-3k}{4}=0$為整數(shù)，
因?yàn)?≤k≤8，k∈N，所以k=0，4，8，
即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng)，它們是${T_1}={x^4}，{T_5}=\frac{35}{8}x，{T_9}=\frac{1}{256}{{x^{-2}}}^{\;}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，屬于中檔題