Question

13．某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從開始計數的．
（Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；
（Ⅱ）估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；
（Ⅲ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）	1	2	3	4	5
銷售收益y（單位：萬元）	2	3	2		7

表中的數據顯示，與y之間存在線性相關關系，請將（Ⅱ）的結果填入空白欄，并計算y關于的回歸方程．
回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為$\frac{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，建立方程，即可求得結論；
（Ⅱ）利用組中值，求出對應銷售收益的平均值；
（Ⅲ）利用公式求出b，a，即可計算y關于x的回歸方程．

解答 解：（Ⅰ） 設長方形的寬度為m，由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，
可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可知個小組依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），
其中點分別為1，3，5，7，9，11，對應的頻率分別為0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
故可估計平均值為1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；（8分）
（Ⅲ） 空白欄中填5．
由題意可知，$\overline{x}$=3，$\overline{y}$=3.8，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=69，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=55，∴b=$\frac{69-5×3×3.8}{55-5×{3}^{2}}$=1.2，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=3.8-1.2×3=0.2，
∴y關于x的回歸方程為y=1.2x+0.2．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖，考查線性回歸方程的求法和應用，本題解題的關鍵是看出這組變量是線性相關的，進而正確運算求出線性回歸方程的系數，本題是一個中檔題．