Question

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

Answer 1

本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，

方法一：

（I）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD.

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.

（II）解：過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，

在Rt△PEB中BE=，PB=，

cos∠PBE==

∴AC與PB所成的角為arccos.

(III)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN?MC=.

∴AN=.

∵AB=2，

∴cos∠ANB==

故所求的二面角為arccos().

方法二：因?yàn)镻A⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

(I)證明：因=(0,0,1), =(0,1,0),故?=0,所以AP⊥DC.

又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（II）解：因=(1,1,0), =(0,2,-1),

故||=，||=，?=2，所以

cos<?>==

由此得AC與PB所成的角為arccos

（III）解：在MC上取一點(diǎn)N(x,y,z),則存在λ∈R，使

=λ，

=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),

∴x=1-λ,y=1,z=λ.

要使AN⊥MC只需?=0,即

x-z=0,解得λ=.

可知當(dāng)λ=時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(,1, ),能使?=0.

此時(shí), =(,1, ),=( ,-1, ),有?=0.

由?=0, ?=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.

∵||=,||=,?=-.

∴cos<,>==

故所求的二面角為arccos().