Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面MND⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）要證明MN∥平面PAD，可以想著找一個MN所在平面和平面PAD平行，取CD中點E，連接ME，NE，則容易證明ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，所以平面MNE∥平面PAD，這樣就能得到MN∥平面PAD；
（2）只要在平面MNE內找一直線和平面PCD垂直即可，通過觀察MN像是所找直線，容易證明MN⊥CD，連接PM，CM，能得到PM=CM，所以MN⊥PC，這樣這條直線就找到了，也就能證出平面MND⊥平面PCD了．

解答： 證明：（1）取CD中點E，連接ME，NE，
則：ME∥AD，NE∥PD，AD?平面PAD，PD?平面PAD；
∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，NE∩ME=E；
∴平面MNE∥平面PAD，MN?平面MNE；
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；
∴PA⊥AB，即AB⊥PA；
又AB⊥AD，PA∩AD=A；
∴AB⊥平面PAD，CD∥AB；
∴CD⊥平面PAD，
∵MN∥平面PAD，CD⊥平面PAD；
∴CD⊥MN，即MN⊥CD，連接PM，CM；
∵AM=BM，PA=CB，∠PAM=∠CBM；
∴△PAM≌△CBM，∴PM=CM，N是PC中點；
∴MN⊥PC，PD∩CD=C，PD，CD?平面PCD；
∴MN⊥平面PCD，MN?平面MNE；
∴平面MND⊥平面PCD．

點評：本題考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質，線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．