Question

過(guò)橢圓E：

x2

2

+y²=1的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓E相交于A，B 兩點(diǎn)，直線l：y=mx+n與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，與線段AB相交于點(diǎn)P（與A，B不重合）．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，四邊形ACBD能否成為平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)直線l與圓x²+y²=1相切時(shí)，四邊形ACBD的面積是否有最大值，若有，求出其最大值，及對(duì)應(yīng)的直線l的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用反證法，結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論，m≠0時(shí)，由直線l與圓x²+y²=1相切，可得m²+1=n²，y=mx+n與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出四邊形ACBD的面積，利用基本不等式，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，橢圓E：

x2

2

+y²=1的右焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）．
若四邊形ACBD能成為平行四邊形，則AB，CD有公共的中點(diǎn)F，
∴l(xiāng)的方程為y=x-1，且y₁+y₂=0，
y=x-1代入橢圓E：

x2

2

+y²=1，得3y²+2y-1=0，
∴y₁+y₂═

2

3

≠0，
∴四邊形ACBD不能成為平行四邊形；
（Ⅱ）m=0時(shí)，不符合題意；
m≠0時(shí)，∵直線l與圓x²+y²=1相切，
∴

|n|

m2+1

=1，
∴m²+1=n²，
y=mx+n與橢圓聯(lián)立，可得（m²+

1

2

）x²+2mnx+n²-1=0，△=2m²＞0，
四邊形ACBD的面積S=

1

2

|AB||x₂-x₁|=

2 2m2-n2+1

2m2+1

=

2|m|

2m2+1

=

2

2|m|+ 1 |m|

≤

2

2 2

=

2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2|m|=

1

|m|

，即m=±

2

2

時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)n=±

6

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)只有y=

2

2

x-

6

2

和y=-

2

2

x+

6

2

符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理，利用基本不等式的解題的關(guān)鍵．