Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程為12x-y+b=0（b∈R），求a與b的值；
（2）若a＜0，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）已知函數(shù)（a∈R）．
則導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=--（a+1）-1-=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-）
∵a＜0，∴＜1，

	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

∴f（x）極大值=f（）=，f（x）極大值=f（1）=-（a-1）
（3）f（）==，f（1）=-（a-1）
f（2）=（2a-1），f（0）=-＜0，
①當(dāng)a≤時(shí)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，f（0）=-＜0，
f（1）=-（a-1）＞0，f（2）=（2a-1）≤0，所以f（x）在區(qū)間[0，1]，（1，2]上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) ＜a≤1時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在（1，）上為減函數(shù)，（，2）上為增函數(shù)，f（0）=-＜0，
f（1）=-（a-1）＞0，f（）=＞0，f（2）=（2a-1）＞0，
所以f（x）只在區(qū)間[0，1]上有一個(gè)零點(diǎn)，故在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，]上為增函數(shù)，在（，1）上為減函數(shù)，（1，2）上為增函數(shù)，f（0）=-＜0，f（）=＜0，f（1）=-（a-1）＜0，f（2）=（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在區(qū)間（1，2）上有一個(gè)零點(diǎn)，故在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；
故存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)a≤時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)．
分析：（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為12x-y+b=0，可知：f′（-1）=12，f（-1）=-12+b，可解a，b的值；
（2）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，列出表格，進(jìn)而求函數(shù)f（x）的極值；
（3）求出f（），f（1），f（2）的值，討論與1，2值的大小，利用零點(diǎn)定理進(jìn)行判斷．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題，突出考查函數(shù)的零點(diǎn)定理，分類討論數(shù)學(xué)思想及綜合分析與運(yùn)算的能力，屬于難題．