(1)解:因為f'(x)=lnx+2,所以f'(1)=2,
所以函數(shù)f(x)的圖象在點(1,1)處的切線方程y=2x-1;…(3分)
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,所以k(x-1)<f(x)對任意x>1恒成立,
即
對任意x>1恒成立.…(4分)
令
,則
,…(4分)
令h(x)=x-lnx-2(x>1),則
,
所以函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調遞增.…(5分)
因為h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一實根x
0,且滿足x
0∈(3,4).
當1<x<x
0時,h(x)<0,即g'(x)<0,當x>x
0時,h(x)>0,即g'(x)>0,…(6分)
所以函數(shù)
在(1,x
0)上單調遞減,在(x
0,+∞)上單調遞增.
所以
.…(7分)
所以k<[g(x)]
min=x
0∈(3,4).
故整數(shù)k的最大值是3.…(8分)
(3)證明:由(2)知,
是[4,+∞)上的增函數(shù),…(9分)
所以當n>m≥4時,
.…(10分)
即n(m-1)(1+lnn)>m(n-1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n-m).…(11分)
因為n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.…(12分)
即lnn
mn+lnm
m>lnm
mn+lnn
n.即ln(n
mnm
m)>ln(m
mnn
n).…(13分)
所以(mn
n)
m>(nm
m)
n.…(14分)
分析:(1)求導數(shù),確定切線的斜率,即可求得切線方程;
(2)分離參數(shù),求得函數(shù)的單調性,從而可得函數(shù)的最值,即可求得k的最大值;
(3)利用
是[4,+∞)上的增函數(shù),可得不等式,從而可證結論.
點評:本題考查導數(shù)的幾何意義,考查恒成立問題,考查不等式的證明,求得函數(shù)的單調性,求得函數(shù)的最值是關鍵.