Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為135°，求
①|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求實數k的值．

Answer 1

分析 ①根據向量數量積的公式先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|-2，然后根據向量長度和向量數量積的關系即可求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的值；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），根據向量垂直轉化為（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，利用向量數量積的運算法則建立方程即可求實數k的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為135°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos135°=2×$\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-2，
①|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4-4×（-2）+4×2}$=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
②若（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
則（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即k$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2$\overrightarrow$²=4k-2+4k-4=0，
即8k=6，k=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查向量數量積的應用，根據向量數量積的四則運算法則以及向量數量積與向量長度，向量垂直的關系進行轉化是解決本題的關鍵．