Question

某同學(xué)先后隨機(jī)拋擲兩枚正方體骰子，其中a表示第1枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，b表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．
（1）求點(diǎn)P（a，b）滿足b²＜4a的概率；
（2）當(dāng)x∈(-1，

1

2

)時(shí)，求函數(shù)f（x）=（a-1）x²-bx+1為單調(diào)函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所有的點(diǎn)P（a，b）共有6×6=36個(gè)，其中，滿足b²＜4a的點(diǎn)用列舉法求出共有17個(gè)，由此求得點(diǎn)P（a，b）滿足b²＜4a的概率．
（2）所有的點(diǎn)P（a，b）共有6×6=36個(gè)．若a=1，求得滿足題意得點(diǎn)（a，b）共有6個(gè)．若a≠1，由題意可得b≥a-1，此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)（a，b）一一列舉出來共有20個(gè)．由此求得所求事件的概率．

解答：解：（1）所有的點(diǎn)P（a，b）共有6×6=36個(gè)，其中，滿足b²＜4a的有：
（1，1 ）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2 ）、（3，3）、
（4，1 ）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2 ）、（5，3）、
（5，4）、（6，1）、（6，2）、（6，3 ）、（6，4）共17個(gè)，
故點(diǎn)P（a，b）滿足b²＜4a的概率為

17

36

．
（2）當(dāng)x∈(-1，

1

2

)時(shí)，若a=1，函數(shù)f（x）=-bx+1，是單調(diào)函數(shù)，
故滿足題意得點(diǎn)（a，b）共有（1，1 ）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6），共有6個(gè)．
若a≠1，即a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=（a-1）x²-bx+1為二次函數(shù)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=

b

2(a-1)

，
要使函數(shù)f（x）在(-1，

1

2

)上是單調(diào)函數(shù)，只有

b

2(a-1)

≥

1

2

即可．
即b≥a-1，此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)（a，b）共有20個(gè)：
（2，1 ）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6），（3，2 ）、
（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，3），（4，4 ）、（4，5）、（4，6）、
（5，4）、（5，5）、（5，6），（6，5）、（6，6）．
故所求事件的概率等于

6+20

36

=

13

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，應(yīng)用列舉法來解題是這一部分的最主要思想，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．