Question

12．海曲市某中學的一個社會實踐調查小組，在對中學生的良好“光盤習慣”的調查中，隨機發(fā)放了120份問卷，對回收的100份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯表：

	做不到光盤	能做到光盤	合計
男	45	10	55
女	30	15	45
合計	75	25	100

（Ⅰ）現已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，若從這9份問卷中隨機抽取4份，并記錄其中能做到光盤的問卷的份數為ξ，試求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）如果認為良好“光盤行動”與性別有關犯錯誤的概率不超過P，那么根據臨界值表最精確的P的值應為多少？請說明理由．
附：獨立性檢驗統(tǒng)計量Χ$\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}=\frac{{n（n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}-n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}}}{{n\begin{array}{l}{\;}\\{1+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{2+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+1}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+2}\end{array}}}，其中n=n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}$．
獨立性檢驗臨界值表：

P（X2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，則抽取到做不到光盤的人數為6人，能做到光盤的人數為3人，由題意ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）求出X²=$\frac{100}{33}≈3.03$，由2.706＜3.03＜3.841，得到能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為良好“光盤行動”與性別有關，即精確值應為0.10．

解答 解：（Ⅰ）按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，
則抽取到做不到光盤的人數為：30×$\frac{9}{45}$=6人，能做到光盤的人數為：15×$\frac{9}{45}$=3人，
由題意ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{42}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{10}{21}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{14}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{21}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

∴Eξ=$0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）X²=$\frac{100（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$=$\frac{100}{33}≈3.03$，
∵2.706＜3.03＜3.841，
∴能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為良好“光盤行動”與性別有關，即精確值應為0.10．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，考查獨立檢驗的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．