Question

9．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足：$\frac{1}{a}+\frac{1}=2\sqrt{ab}$．
（1）求a+b的最小值m；
（2）在（1）的條件下，若不等式|x-1|+|x-t|≥m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，即可求a+b的最小值m；
（2）∵|x-1|+|x-t|≥m對任意實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于（|x-1|+|x-t|）_min≥2，而|x-1|+|x-t|≥|（x-1）-（x-t）|=|t-1|，由此可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{a}+\frac{1}=2\sqrt{ab}$且$\frac{1}{a}+\frac{1}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$，
∴ab≥1（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號），…（3分）
∴$a+b≥2\sqrt{ab}≥2$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號）
∴m=2；   …（5分）
（2）∵|x-1|+|x-t|≥m對任意實(shí)數(shù)x恒成立等價(jià)于（|x-1|+|x-t|）_min≥2
而|x-1|+|x-t|≥|（x-1）-（x-t）|=|t-1|…（7分）
∴|t-1|≥2∴t≤-1或 t≥3…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義，帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．