Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2，可得當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的相鄰兩項之間的關(guān)系，找到規(guī)律即可求出通項；
（2）由（1）求出S_n的表達(dá)式，進而根據(jù)其各項由一個等差數(shù)列乘一個等比數(shù)列構(gòu)成，故選用錯位相減法，得到答案．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…..（2分）
即a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
∵a_n≠0
∴

an

an-1

=2…（4分）
∵a₁=S₁，
∴a₁=2a₁-2，即a₁=2
∴a_n=2ⁿ    …（6分）
（2）S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ ①…（7分）
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹ ②…（8分）
①-②得-S_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹ …（9分）
即-S_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹ ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹       …（10分）
∴S_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6                  …..（12分）

點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的通項公式，及等比數(shù)列的確定方法，數(shù)列求和，（1）的關(guān)鍵是由S_n=2a_n-2，得到S_n-1=2a_n-1-2，兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的相鄰兩項之間的關(guān)系，（2）的關(guān)鍵是分析S_n的表達(dá)式中各項的特點，又選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/div>