Question

給定曲線f（x）=ax³+x²（a≠0）．
（1）若a=1，過點P（1，2）引曲線的切線，求切線方程；
（2）若過曲線上的點Q引曲線的切線只有一條，求點Q的坐標；
（3）若x∈（0，1）時，以曲線段上任一點為切點的切線斜率的絕對值不大于1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的導函數，然后討論點P是否為切點，當P（1，2）為切點時，切線斜率k=f'（1），然后利用點斜式方程可求出切線方程，當P（1，2）不是切點時，設切點為T（x，x³+x²），切線斜率k=f'（x），然后根據k=k_PT建立等式關系，求出切點，從而求出切線方程；
（2）設Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q為切點時必然存在一條切線，求出切線方程，然后與曲線聯立方程組，使關于x的方程只有一個根x₁，△=0，可求出點Q的坐標；
（3）由題意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立，然后將a分離出來得，然后分別研究左邊函數在x∈（0，1）的最大值，右邊函數在x∈（0，1）的最小值，即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=x³+x²，f'（x）=3x²+2x
①當P（1，2）為切點時，切線斜率k=f'（1）=5，此時切線方程為y-2=5（x-1），即y=5x-3．
②當P（1，2）不是切點時，設切點為T（x，x³+x²），切線斜率k=f'（x）=3x³+2x
另一方面，k=k_PT=
∴
∵x≠1，∴x=-1，∴T（-1，0），此時切線y=x+1
綜上，所求的切線為y=5x-3或y=x+1．
（2）設Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q為切點時必然存在一條切線．
切線斜率k=f'（x₁）=3ax₁²+2x₁，
切線方程為：y-（ax₁³+x₁²）=3（ax₁²+2x₁）（x-x₁），聯立曲線y=ax³+x²，
得（x-x₁）[ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁]=0，
由于這樣的切線只有一條，所以上述關于x的方程只有一個根x₁，
即二次方程ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁=0只有一個根x₁，
顯然把x=x₁代入滿足，故△=（ax₁+1）²+4a（2ax₁²+x₁）=0
化簡為：△=9a²x₁²+6ax₁+1=（3ax₁+1）²=0，解得x₁=-，得
（3）由題意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立
∴
∵，
，
∴
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．