Question

求下列各函數(shù)的最值：
（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-

3

，3]；
（2）f（x）=x²-

54

x

（x＜0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得-

3

＜x＜-1或1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，即可求得函數(shù)的最值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，求得x＜-3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，-3＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
，即可求得函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+3x，
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
∴-

3

＜x＜-1或1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∵f（-

3

）=0，f（-1）=-2，f（3）=-18，f（1）=2
∴函數(shù)f（x）=-x³+3x，x∈[-

3

，3]的最大值為2，最小值為-18；
（2）∵f（x）=x²-

54

x

（x＜0），
∴f′（x）=

2(x+3)(x2-3x+9)

x2

，
∴x＜-3時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，-3＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∵f（-3）=27，
∴f（x）=x²-

54

x

（x＜0）的最小值為27，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．