Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的定義域都是R，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)．
（1）判斷F（x）=[f（x）]²-g（x）的奇偶性；
（2）如果f（x）+g（x）=2^x+x，求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，F(xiàn)（x）的定義域為R，F(xiàn)（-x）=[f（-x）]²-g（-x）=[-f（x）]²-g（x）=[f（x）]²-g（x）=F（x），從而判斷；
（2）由題意，f（x）+g（x）=2^x+x，-f（x）+g（x）=2^-x-x，從而解出f（x）和g（x）．

解答： 解：（1）F（x）=[f（x）]²-g（x）的定義域為R，
又∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=[f（-x）]²-g（-x）
=[-f（x）]²-g（x）=[f（x）]²-g（x）=F（x），
則F（x）=[f（x）]²-g（x）是偶函數(shù)；
（2）∵f（x）+g（x）=2^x+x①，
∴f（-x）+g（-x）=2^-x-x，
即-f（x）+g（x）=2^-x-x②，
由①②聯(lián)立解得，
g（x）=

2x+2-x

2

，f（x）=

2x-2-x

2

+x．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)觀點轉(zhuǎn)化為方程觀點，屬于中檔題．