Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點M在橢圓C上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點F．
（Ⅰ）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）當(dāng)a=2，試探究在橢圓C上是否存在點P，使得

PF1

•

PF2

=0成立？若存在，請求出b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x₀，y₀），圓M的半徑為r，所以x₀=c=r=|y₀|，將x₀=c代入橢圓方程得|y₀|=

b2

a

，進而得到關(guān)于a與c的關(guān)系式即可求出離心率e的值．
（Ⅱ）假設(shè)存在點P，則PF₁⊥PF₂，所以（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²，再根據(jù)橢圓的定義可得：(4)2-2|PF1||PF2|=(2

4-b2

)2，然后結(jié)合基本不等式求出b的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x₀，y₀），圓M的半徑為r，依題意得x₀=c=r=|y₀|．（2分）
將x₀=c代入橢圓方程得|y₀|=

b2

a

，
所以c=

b2

a

，
又因為b²=a²-c²，
所以可得：c²+ac-a²=0，（4分）
兩邊除以a²，得e²+e-1=0，
解得e=

-1± 5

2

．（5分）
因為 e∈（0，1），
所以 e=

5 -1

2

．（6分）
（Ⅱ）若存在點P，使得

PF1

•

PF2

=0成立，
則PF₁⊥PF₂，（7分）
所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，即（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²，
所以(4)2-2|PF1||PF2|=(2

4-b2

)2，
所以4b2=2|PF1||PF2|≤2(

|PF1|+|PF2|

2

)2=2(

4

2

)2=8，（6分）
解得b²≤2，即b的取值范圍為(0，

2

]．（12分）

點評：解決此類問題關(guān)鍵是熟練掌握圓與直線的位置關(guān)系，以及橢圓的定義并且掌握利用基本不等式求范圍問題，此題是一道綜合性較強的題，屬于難題．