Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，焦點到相應的準線的距離以及離心率均為，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且＝λ．

（1）求橢圓方程；

（2）若＋λ＝4，求m的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，

由條件知－c＝＝，＝，…………………… 2分

∴a＝1，b＝c＝，             …………………… 4分

故C的方程為：y²＋＝1　        

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4　　λ＝3　                             …………………… 6分

設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                      …………………… 8分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，…………………… 10分

由（*）式得k²>2m²－2

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或<m<1

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）　…………………… 12分