Question

（本小題滿分14分）

    在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，

．

（Ⅰ）若點在線段上，且滿足,求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】第一問中利用線面平行的判定定理，先得到線線平行，根據已知條件得到

過作于，連結，則則，又，所以.

又且，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

所以得到線面平行。

第二問中，通過以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

利用平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或者互補的結論，借助與代數的手段求解得到二面角的大小。

證明：（Ⅰ）過作于，連結，

則，又，所以.

又且，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

又平面，平面，

所以平面.            ……4分

（Ⅱ）因為平面，，故

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由已知可得

.

顯然.

則，

所以.

即，故平面.

（Ⅲ）因為，所以與確定平面，

由已知得，，.               ……9分

因為平面，所以.

由已知可得且，

所以平面，故是平面的一個法向量.

設平面的一個法向量是.

由得    即

令，則.

所以.

由題意知二面角銳角，

故二面角的余弦值為.                            ……14分