如圖2-2-6,在三棱錐A—BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1,另一個側(cè)面是正三角形.

圖2-2-6

(1)求證:AD⊥BC.

(2)求二面角B-AC-D的大小.

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,請說明理由.

(1)證法一:作AH⊥面BCD于H,連結(jié)DH.

AB⊥BDHB⊥BD,又AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,則BHCD是正方形,則DH⊥BC,

∴AD⊥BC.

證法二:取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO、DO,

則有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因?yàn)锳B=AC=BC=,∴M是AC的中點(diǎn),且MN∥CD,則BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得

cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:設(shè)E是所求的點(diǎn),作EF⊥CH于F,連結(jié)FD,則EF∥AH,∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED與面BCD所成的角,則∠EDF=30°.設(shè)EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,FD=,∴tan∠EDF=.解得x=,則CE=x=1.

故線段AC上存在E點(diǎn),且CE=1時,ED與面BCD成30°角.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=
6
,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于點(diǎn)D,AD=1,CD=3,PD=
3

(1)證明△PBC為直角三角形;
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=
6
,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于點(diǎn)D,AD=1,CD=3,PD=2.
(1)求三棱錐P-ABC的體積;
(2)證明△PBC為直角三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=
6
,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于點(diǎn)D,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),AD=1,CD=3,PD=
3

(1)求證:BO⊥平面PAC
(2)證明:△PBC為直角三角形;
(3)求直線AP與平面PBC所成角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案
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