Question

如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形，點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn)，AA′⊥平面ABCD
（1）求證：A′C∥平面BDE；
（2）求證：平面A′AC⊥平面BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先找到線面平行的充分條件，可以通過中位線找到線線平行，再進(jìn)一步證明線面平行．
（2）要證明平面A′AC⊥平面BDE．可以通過BD⊥平面A'AC來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步找到BD⊥平面A'AC的充分條件，從而得到結(jié)果．

解答： 證明：（1）設(shè)BD交AC于M，連結(jié)ME．

∵ABCD為正方形，所以M為AC中點(diǎn)，
又∵E為A'A的中點(diǎn)∴ME為△A'AC的中位線
∴ME∥A'C又∵M(jìn)E?平面BDE，A'C?平面BDE
∴A'C∥平面BDE．
（2）∵ABCD為正方形
∴BD⊥AC
∵A'A⊥平面ABCD∴A'A⊥BD．
又AC∩A'A=A  AC?面A'AC  AA'?面A'AC
∴BD⊥平面A'AC
∵BD?平面BDE
∴平面A'AC⊥平面BDE．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：三角形的中位線，線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．是高考的重點(diǎn)題型．